ELIPSE e HIPERBOLE: marzo 2012

ELIPSE

Una elipse es la colección de todos los puntos del plano en los que la suma de su distancias a dos puntos fijos, se llama "Foco", es constante.

Los focos se señalados como F1 y F2, la recta que pasa por los focos se llama "Eje Mayor". El punto medio del segmento de la recta que une a los focos es el centro de la elipse,y la recta que une a los focos es el centro y es perpendicular al eje mayor es el eje menor. Los dos puntos de intersección de la elipse con el eje mayor son los vertices V1 y V2 de una elipse. La distancia de un vertice al otro es la Longitud del eje mayor: La elipse es simétrica (Definición de simétrica una figura simetrica es aquella que al unir ambas partes coinciden) respecto de su eje mayor respecto de su eje menor y respecto de su centro.

Definiciones: i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica.

El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.

Si e < 1, la cónica se llama elipse.

Si e = 1, la cónica se llama parábola

Si e > 1, la cónica se llama

hipérbola

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices. En otras palabras, la elipse es la colección de todos los puntos del plano en los que la suma de su distancia a dos puntos fijos, se llama foco y es constante.

La recta que pasa por los focos de la elipse se llama eje mayor, el punto medio de la recta que une a los focos se llama centro de la elipse y la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor es el eje menor.

Elementos

de a cuerdo con la ecuacion: $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=sqrt{a^2-b^2}$

Excentricidad de una elipse

La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal

y su semieje mayor.

Ecuaciones

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

El eje donde abre la elipse dependerá en donde se encuentre, es decir el mayor de los denominadores.

Área interior de una elipse

El area de la superficie interior de una elipse es:

$\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b$

Siendo a y b los semiejes.

ejemplos:

ejemplo Nº1

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

ejemplo Nº 2

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a
OX, los focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y
F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general,
una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2),
de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación

,
hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

HIPERBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

-Los componentes de la hiperbola:

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento

de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento

de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento

de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes

ecuaciones hiperbola

Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0, 0) \,$ y ecuación de la hipérbola en su forma canonica.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h, k) \,$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Ejemplos:

$\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1$

$\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1$

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$ , en el plano $Re Im\,$ ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias $|z-w_1|-|z-w_2|\,$ , a dos puntos fijos llamados focos $w_1\,$ y $w_2\,$ , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.